皆さんこんにちは。東進衛星予備校 金沢南校の北川と申します。
新年、あけましておめでとうございます。今年も色んな話題を取り上げて、皆様の興味の入口を作ることができたらいいなと思っております。
今月は、2025年1月18日・19日(土・日)に実施された新形式の共通テストについて、特に数学の問題を取り上げて解説して参ります。
問題の中身に触れる部分もありますが、基本的には新傾向になったことで難易度がどうなったのか、来年度はどこに気を付けて対策を行っていけばよいかなどを説明して参りますので、どうぞよろしくお願いいたします。
目次
☆全体概観
数学IAに関しては、予告通り大問が1つ減少し、全問が必答となりました。
各大問の内容は大きく変化せず、以下のようになりました。
全体概観として、東進衛星予備校は「やや易化」(1/19)→「易化」[1](1/20)、駿台は「昨年並み」[2](1/20)と評価しています。個人的にも(昨年と比較するのであれば、)まあ間違いなく易化と言えるだろうと思います。
易化の理由としては
・問題文の状況が比較的シンプルになったこと
・誘導が丁寧で、計算量がそれほど多くなかったこと
が挙げられるでしょう。
☆問題に対する所感
結論から言うと、「大問が減って新課程問題が出ただけの、例年以上にこれまでの対策が生きる共通テスト」です。
■データの分析での仮説検定、場合の数と確率での期待値が新課程の問題として出題されました。が、初年度ということもあってかそれほどの難問にはなっておらず、教科書レベルの事柄をきっちり押さえていれば得点できるものでした。
■得点を上げるうえで分かれ道になったと思われるのは
・例年通り計算量が多くなりがちな図形と計量や二次関数をどれだけ素早く捌けたか
・第2問[2]や第4問のような複雑な問題文を読み飛ばさず正確に読めたか
の2つですが、これはいつものことです。
■また今年は、昨年よりも思考力を問うような問題は少なく、誘導に乗りやすかったことから、普段以上に対策が生きやすい年だったのではないかと思います。
以下、各大問に対する細かい所感です(敬体ではなく常体で書いています)。
第1問(標準)
[1] 数と式、集合と論理(ともに数I)。難しいところは何もなく、誘導に従って丁寧に計算すれば答えが出る。必要条件/十分条件の問題も、例年と比べてトラップもなく素直な問題だったため、ここでのミスはかなりのダメージとなりうるだろう。
[2] 図形と計量(数I)。これも誘導が丁寧。(1)では正弦定理が式付きで出題されており、難易度を下げようという意図が見てとれる。
(2)は(1)と全く同じ流れになることにどれだけ早く気付けるかがキー。ここで時間を使いすぎると後が大変になったかもしれない。
(3)の計算は、余弦定理を使うことをどれくらいの速度で思いつけるかがキー。演習量の差が露骨に出る問題と言える。
第2問(標準)
[1] 二次関数(数I)。\(C_2\)が\(y\)軸対称になっていることをはじめ、とにかく様々なものが対称形となっていることを利用して計算量を減らせたかがキー。難しくはないが、とにかく計算ミスに注意できたかどうかが勝負の分かれ目だろう。
実際の受験会場ではこの大問でパニックになった生徒が多かった模様。
また、場合によっては誘導を無視した方がやや素早く解ける(例えば、\(C_1\)の式は誘導の通りに\(y=ax^2+bx+c\)と置くより、零点2つが分かっていることから\(y=a(x-\frac{1}{2})(x+\frac{5}{2})\)とした方がパラメータが減って計算ミスも減り、計算速度も上がる)。このような工夫で素早く攻略できた受験生は優位に立てただろう。
[2] データの分析(数I)。(1)については表1が露骨に整理されているため、第1四分位数と第3四分位数を探す手間が省ける。また、「外れ値」の定義を読み飛ばさず、きっちり計算できるかもキー。この問題は「日本語の問題」だと言えるかもしれない。
(2)は単なる計算問題だが、分散の定義を中途半端にしか理解していない人は迷ったかもしれない。また、正の相関がある=共分散の値が正だということを理解できるかどうかも勝負の分かれ目。
また、(3)では新課程問題として(大方の予想通り)仮説検定が登場したが、内容としては等しい割合で起こると仮定した事象をコイントスに置き換えるオーソドックスなものであった。しっかり勉強した受験生ならば苦も無く解けたものと思われる。
第3問(やや易)
図形の性質(数A)。交線の考察と相似の考察を行う問題。さして難しい問題もなく、初等幾何がそれほど得意でない人でも高得点を狙える大問。
(1)は直線を共有する平面を探すと、あとは勝手に問題文が証明してくれる。優しいし易しい。初等幾何的な考察がハマれば、数値計算をするより簡単なことがあるという良い例。
(2)は相似であることが明言されているので、理由[3]は分からなくても「相似なんだな~」と思えれば計算するだけ。(ii)は誘導に従って方べきの定理を使った後は、先ほどと同様に相似を使うだけ。(iii)は垂直証明でピタゴラスの定理の逆を思いつけたかどうかがキー。
計算だけで取れる部分はきっちりと得点したい。
第4問(やや易)
場合の数と確率(数A)。くじ引きと料金設定を題材として期待値を求める問題。問題文に書いてあることを正確に読み解かないと間違える。また最初の確率計算を間違えると後ろが全部ダメになるタイプの問題なので、プレッシャーがすごい。
(1)はあまり見慣れない形式の出題だが、書いてあることを書いてある通りに計算すれば解ける。(1回も当たりが出ない確率)=1-(1回目で当たる確率+2回目で当たる確率+3回目で当たる確率)と、排反なものに分けて考えることができたかはポイントだが、それも直前の空欄エオカキで示唆されているので、誘導に乗れれば難しくない。
(2)は単に期待値計算。その後の参加料の妥当性については、しっかり定義を読んだうえで判断すれば迷わないだろう。日本語を落ち着いて読めるかどうかが勝負。
(3)(i)は、これも定義に従って期待値を計算するだけ。次の参加料の妥当性も、やはり日本語が正しく読めるかが勝負。下手に自分で頭を働かせず、問題文の言うとおりに正確に解釈することが必要。最後の計算はここまで分かっている人なら解けるはず。
☆新高2,3生がこれからすべき勉強
上記で説明した通り、今年は(大幅とはいかないまでも)易化傾向にあります。
そして、傾向が変わってから2年目というのは1年目の動向を見て、大抵難化する傾向にあります。これを鑑みると、2026年度試験は難化すると見て対策していくことが必要でしょう。ポイントとしては以下のようなものが挙げられます。
■計算力に自信がない人は、やはり計算が重くなりがちな図形と計量や二次関数について対策を行い、計算速度を上げていくことが必要です。2022年度や2024年度の本試験はとにかく計算が重たかった年になりますから、この年を時間内に完答できるようになることを1つの目標にしても良いかもしれません。
■素早い思考が必要な中で、計算ミスや思い違いは命取りになります。自分が何をどう考えたのかは、メモする癖をつけておくべきでしょう。そして、復習の際にメモを見直し、自分がよくするミスを分析して普段から意識しておくようにしましょう。
■どれだけ数学に自信がある人であっても、時間に追われる中での完全解答はそう簡単ではありません。普段の演習から時間を測り、プレッシャーの中で問題を解くことに慣れておくことが重要です。
[1] https://www.toshin.com/kyotsutest/about_suugaku-1a.html (2025/01/20確認)
[2] https://dn-sundai.benesse.ne.jp/dn/center/sokuhou/mondai_k/mk_sugaku1a_1.html (2025/01/20確認)
[3] 円に内接する四角形の性質から直ちに従う。
☆全体概観
大問数が2つ増え、必答3問、選択4問中から3問という6題解答の構成になりました。
各大問の内容は以下の通りです。
第1問(必答):三角関数(数II)
第2問(必答):指数・対数関数(数II)
第3問(必答):微分積分(数II)
第4問(選択):数列(数B)
第5問(選択):統計的な推測(数B)
第6問(選択):ベクトル(数C)
第7問(選択):複素数平面(数C)
出題が予想されていた「二次曲線」分野からの出題はなく、また「図形と方程式」分野の出題もありませんでした。
全体概観として、東進衛星予備校は「やや易化」(1/19)→「やや難化」[1](1/20)、駿台は「やや難化」[2](1/20)と評価しています。個人的には難問もないのでむしろ易化したと言ってよいくらいだと思いますが、難化傾向との判断には「分野横断的な出題が多かったこと」が要因として考えられます[3]。
☆問題に対する所感
結論から言うと、「新課程問題が出て、様子見の初年度としては比較的とっつきやすい問題」です。
■新課程として出題された「複素数平面」は誘導が丁寧で異様に簡単な問題が出ました。複素数平面に習熟していなくても、容易に高得点をマークできたのではないかと思います。それ以外にも、ベクトルはかなり誘導が丁寧で解きやすかったのではないかと思います。
■分野横断的な部分を除けば、それ以外の問題も比較的誘導が丁寧で、完答は難しくともある程度まで得点を取ることはなんとかできたのではないかと感じます。
以下、各大問の細かい所感です(敬体ではなく常体で書いています)。
第1問(標準)
三角関数(数II)。誘導に乗れれば手が止まるところは一切ない。文字の置き換えに混乱しないよう、問題文は正確に読もう。
(1)(i)は正弦(サイン)が等しくなる一条件の考察。当然角度が等しければサインも等しいので、\(α=β\)を解くだけでよい。次も、要するに\(sin\frac{π}{3}\)について問われているのだと分かれば容易い。
(1)(ii)については、単位円を使ったサインの定義を覚えているか否かがすべて。
(1)(iii)については、言われた通りに図を書いて考察すれば(試験の場で厳密な証明が得られなくとも)方針は立つはずである。数式じゃなくてお絵描きできたかが勝負の分かれ目。空欄ケは何となくで解くと間違える可能性があるため注意。
(2)については、今やったのと同じことを余弦(コサイン)でやるだけ。といっても、サインのときと場合分けは変わる。今回は\(α+β=2π\)を考える必要があると気づけたかどうかがキー。ちなみに\(α=β\)のときと\(α+β=2π\)のとき以外に解がないことを示すには若干考察が必要だが、これは共通テストなので空欄を全部埋められれば先に進んで大丈夫。
第2問(標準)
指数・対数関数(数II)。等比数列の一般項の考え方を知っているかどうかがキー。計算が大変そうなところは問題文と常用対数表がやってくれるので、僕たちは美味しいところだけいただきましょう。
(1)は水草の1日ごとの増加率を考察する問題。3日ごとの水草の増加量が一定であることは問題文が求めてくれている。ぐうの音も出ないほど有能。後は求めて頂いた1.32という値を上手く使って式を立てて計算するだけ。等比数列だな、と気づけないと当てもなくさまようことになるが、それにさえ気づけば行間はないに等しい。
(2)は水草掃除で残す水草の量について考察する問題。(1)が分かれば空欄キは容易に埋まるし、計算ができれば空欄コ,サシも埋まる。空欄サシについては冷静にやらないと色々なところで思い違いをすることがあり得るので、落ち着いて1行ずつ計算しよう。
第3問(標準)
微分積分(数II)。導関数が等しい2次関数になるような、2つの関数について考察する問題。途中で誘導に乗れないと「あれ、今何をやってんだっけ?」となって迷宮入りする。自分が常に何をしているのか、どんな情報を得ているのかを確認し続けるのが吉。
(1)は具体的に関数が与えられているので、それに従って計算をするだけ。計算ミスにだけ気を付けること。また、ここでの考察から、\(F(x)\)と\(G(x)\)は定数分の差しかない(つまり同じグラフを上下に動かしているだけ)だと気づければ、あとの問題で迷うことが減る。
(2)(i)は、元の関数と導関数の対応関係に注意して考察する。\(F(0)=0\)や\(k>0\)といった条件を忘れるとグラフの概形を確定できないので注意。これはそれほど難しくない。
(2)(ii)は\(f(x)\)を積分すると\(F(x)\)に戻ることと、\(F(0)=0\)に注目できるかがキー。一瞬見た目がエグくて手を止めかねないが、選択肢は4つしかないので冷静に考えれば分かる。ここで(1)で考察した\(F(x)\)と\(G(x)\)は定数分の差しかないという関係性が生きてくる。
第4問(標準)
数列(数B)。格子点の問題だが、グラフ上でx座標が正の整数である点がすべて格子点なので、並み居る類題と比較しても簡単な部類に入る。
(1)は格子点問題の基礎基本。この手の問題に慣れている人なら思考より先に手が動くはず。そうでなくとも、数列の初めの方を具体的に考察する誘導に乗れれば、何はなくとも等差数列であることは容易に分かり、和を取ることができる。確実に得点したい。
(2)について、同様に考えると今度は等比数列の和を取る場面が出る。初項が1ではなく2であることに注意して計算する(1敗)。本質的には(1)とやることは変わらない。
(3)について、\(a>0\)かつ\(b^2-4ac<0\)を「下に凸でx軸と交点を持たない」と言い換え、図に起こせるかがキー。一見複雑に見えるが、やっぱりグラフ上でx座標が正の整数である点がすべて格子点なので、統一的に考えることができる。和を取れたら式を丁寧に開いて、\(n^3\)と係数比較するだけ。やや計算が煩雑なので注意。
第5問(標準)
統計的な推測(数B)。ゴリゴリの暗記ゲーなので頑張る。忘れたまま思い出せない式があったらこの大問を捨てる必要がある。
(1)は、任意の正規分布を標準正規分布に直す問題と、二項分布を正規分布で近似したときの平均を推定する問題。いずれも最初の方に習う内容であり、易しい。
(2)について、標本平均と信頼区間に関する問題。標本平均の分散は暗記しておき、忘れたとしても思い出せる状態を作っておくと安心か。信頼区間の幅については仮に忘れても正規分布表から割り出せるようにしておきたい。
空欄クケコは計算だが、この問題セットの中で最も重たい計算の1つになるため、根気が求められる。
(3)は仮説検定の問題。対立仮説は証明したい仮説のことだと分かっていれば空欄サは容易い。標本の大きさが400であることに優しさを見いだせれば、あとは標準正規分布に直して考えればよい。総じてちゃんと傍用問題集の基本レベルを押さえた人なら解けるはず。
第6問(やや易)
ベクトル(数C)。名目上数Cに移動したベクトルだが、内容は変わっていない。今回は空間ベクトルからの出題だが、参考図が載っているのでかなりイメージが掴みやすく、とっつきやすい問題だったのではないだろうか。
(1)はベクトルの内積にまつわる問題。今回は具体的に成分が与えられているので、冷静に成分計算をするだけで解けるのが嬉しいところ。特に難しいところはなく、必ず得点しておきたい。
(2)は\(a\)に具体的な値を代入することを考える問題。「そのような点が存在するかどうか」を判断するには①の式を使えばよい、と即座に判断できれば解きやすい。
(3)は一般のaについての正三角形の存在条件を考える問題。式はやたら複雑だが、代入して計算できさえすれば空欄スは埋まる。
空欄セについては、不等式の条件を注意深く考察する必要がある。両方負になることはありえないので、両方正のときだけだと判断できれば後は計算するだけ。元々aの値の範囲に制限があることに注意。
第7問(易)
複素数平面(数C)。新課程の問題として堂々登場したが、やはり初年度は様子見ということなのかかなり丁寧な誘導がされていた。第5問の計算が重たかった反面、こちらは簡単な考察で解ける問題が多く、今年に限って言うなら文系でもこちらを選んだ方が高得点だったのではないかと考えられるほど。選択した人は満点を目指して欲しい。
(1)は偏角の計算。偏角という言葉の意味さえ知っていれば、問題の式の計算結果が純虚数のときに\(α\)と\(β\)がなす直線と\(α\)と\(γ\)がなす直線が直角であるという事実をよく理解していなくても解けるという意味では簡単な問題。
(2)は単なる考察。(1)で得た結果や、問題集の知識だけで充分に解ける。
(3)(i)は具体的な値で2直線が垂直になる条件を考察する問題。主要な計算は全部問題文でやってくれているので、あとは因数分解して考察するだけ。(ii)は計算結果が途中で(i)と一致するので、その先は計算せずとも答えが分かる。(iii)は計算結果が途中で(i)と一部符号違いになるので、やはり最後まで計算しなくても答えが分かる。優しい。
☆新高2,3生がこれからすべき勉強
最初に述べた通り今年は難化とも易化とも取りづらい問題セットでした。
2026年度試験がどうなるのか確かなことは言えませんが、以下のようなことは意識しておくとよいかもしれません。
■今年出題があった分野で言うと、複素数平面は来年出るとしたら必ず難化すると言えるでしょう。この分野については、今年以上の対策が必要になると考えられます。また、今年出題のなかった図形と方程式や二次曲線についても、引き続き対策が必要です。
■数IIBCは出題される範囲が広い分、各大問の重さは数IAと比べて軽めになっていることが多いです。誘導に乗っていけさえすれば立ち止まらず解ける問題も多いので、書いてあることを正確に素早く処理する練習を続けましょう。
■計算だけでなく、本質を問うような考察問題が出ることも多いです。ちゃんと勉強していればボーナス問題ともなりうる代わりに、丸暗記だけで乗り切ると失点に繋がってしまいます。普段から、公式の証明や重要事実が成り立つ背景などに意識を向けて勉強するのがよいでしょう。
[1] https://www.toshin.com/kyotsutest/about_suugaku2bc.html (2025/01/20確認)
[2] https://dn-sundai.benesse.ne.jp/dn/center/sokuhou/mondai_k/mk_sugaku2bc_1.html
(2025/01/20確認)
[3] 例えば、第2問には指数・対数のみならず数列分野の知識が、第4問には数列のみならず方程式分野の知識が必要でした。
今月は、今年の共通テスト数IAと数IIBCの解説をしていきました。
例年と比べて難易度は下がった部分があるかもしれませんが、それでも受験会場で実際に試験を受ける生徒には、会場の外で見守る我々以上にプレッシャーがかかるものです。試験が終わって校舎に戻ってきた生徒たちは皆、口々に「今年の数学は難しかった」とぼやいていました。
どれだけ対策をしても、結局本番に臨む受験生たちは皆「それまでのどの演習よりも遥かに難しいと感じる問題」を解くのです。本来なら解けるはずの問題が、試験会場ではまるで呪われたように解けなくなって、手が止まって頭が真っ白になる。
結局この分析も、外野があーだこーだと言っている以上の何かにはなりうりません。本番に直接生きるわけでもないし、これがすべてという訳ではないのです。鵜呑みにしすぎないことが大切です。
ただ、もし今勉強の方針が立たなくて迷っているとか、何をしたらいいのか分からないとか、そのような悩みが原因で立ち止まっている方がいるならば、その方が前に進む一助としてこの記事が役に立てば幸いです。
今月もありがとうございました。来月も是非よろしくお願いいたします。
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